極小子流形（minimal submanifold）

若測地線是直線的高維表親——最短路徑——那麼極小子流形便是平面的表親：一張曲面（或更高維的薄片），它無法藉由任何微小擾動減少自身面積。把一個鐵絲圈浸入肥皂水中，張在其上的膜會把自己拉得盡可能緊；那張繃緊的膜就是日常的圖像。「極小」一詞是歷史性的標籤，且略有誤導：它真正的意思是面積臨界，是「平地」的類比，而非保證面積最小。

精確地說，黎曼流形 (M, g) 中一個浸入子流形 Sigma 是極小的，當其平均曲率向量恆為零，H = 0。平均曲率是第二基本形式的跡，H = trace(II) = 在某正交標架下對 i 求和的 II(e_i, e_i)；它度量 Sigma 在 M 中的平均彎曲。由面積的第一變分，對任何緊支集的法向變分 V，d(Area)/ds（在 s=0）= -沿 Sigma 的 integral g(V, H) dA，故 H = 0 正是「面積駐定」的歐拉-拉格朗日方程。等價地，M 的座標函數限制在 Sigma 上對誘導拉普拉斯算子是調和的，這正是極小子流形與調和函數理論如此交織的原因。R^3 中的平面是極小的（它根本不彎）；懸鏈面（catenoid）與正螺旋面（helicoid）是經典的非平凡極小曲面；標準 S^{n} 中的大球面 S^{k} 是極小子流形。

極小子流形坐落於幾何、偏微分方程與變分法的交會處，並驅動著深刻的定理——正質量定理、剛性結果、奇異性的結構皆用到它們。關鍵的誠實之處在於「極小」與「極小化」之間的落差：H = 0 只是第一變分（駐定）條件。一個極小子流形是否穩定（第二變分為正）或真正面積極小化，是一個由雅可比／穩定性算子支配、嚴格更強的問題；球面的赤道是極小的甚至穩定，但大二維球面的例子顯示不穩定的極小曲面其實很常見。此外，在足夠高的維數與餘維數下，面積極小化者可以有奇異性（西蒙斯錐，Simons cone），故光滑性並非自動成立。