第二基本形式（second fundamental form）

當一個曲面坐落在更大的空間中時，有兩種彎曲。第一基本形式（誘導度量）量度曲面「之內」的距離——它的內蘊幾何。第二基本形式量度曲面在周圍空間中如何「偏離」平坦地彎曲——它的外蘊幾何。它精確回答了「這個子流形在包含它的空間中如何彎曲？」

設 M 是黎曼流形 (N, g-bar) 的子流形，帶誘導度量，並令 nabla-bar 與 nabla 分別為 N 與 M 的列維-奇維塔聯絡。對 M 上的切向量場 X, Y，第二基本形式是法向分量的餘項 II(X, Y) = nabla-bar_X Y - nabla_X Y，一個對稱的、取值於法叢的向量值雙線性形式。用文字說：用周圍聯絡沿 X 對 Y 求導，再減去切於 M 的部分；剩下、指向 M 之外的，就是 II(X,Y)。對帶單位法向量 nu 的超曲面，常寫純量第二基本形式 h(X,Y) = g-bar(II(X,Y), nu)。

為何重要：II 是內蘊與外蘊幾何之間的橋樑。它（相對於度量的）跡是平均曲率，支配極小曲面與肥皂膜；它的特徵值是主曲率。關鍵在於，高斯方程把 M 的「內蘊」曲率以周圍曲率與 II 表達，所以曲面的內蘊彎曲部分由它在空間中的坐落方式解釋。誠實之言：II 是外蘊的——它依賴於嵌入，而不只是 M 自身的度量。兩個等距的曲面（一張平坦的紙與同一張捲成圓柱的紙）有「相同」的內蘊幾何卻有「不同」的第二基本形式；而內蘊高斯曲率竟然仍相等，正是高斯絕妙定理的內容。