調和映射（harmonic map）

平面上的調和函數是穩態溫度分佈：熱已停止流動，一切達到平衡。調和映射是同樣的想法從數值升格到幾何——兩個彎曲空間之間一個盡可能「放鬆」或「無張力」的映射，是一張被釘住邊界後讓其鬆弛、最終安定下來的彈性膜所呈現的構形。測地線、調和函數，以及（在適當規範下）極小浸入都是其特例，這正是調和映射統合了出人意料之多幾何的原因。

精確地說，黎曼流形之間的光滑映射 f: (M, g) -> (N, h) 是調和的，若它是狄利克雷能量 E(f) = (1/2) 在 M 上的 integral |df|^2 dV 的臨界點，其中 |df|^2 是 h 的拉回對 g 的跡，即 f 的總拉伸。其歐拉-拉格朗日方程是調和映射方程 tau(f) = 0，其中張力場 tau(f) 是該映射第二基本形式的跡：在座標中 tau(f)^k = Delta_g f^k + g^{ij} Gamma^k_{ab}(f) (partial_i f^a)(partial_j f^b)，即各分量的拉普拉斯加上一個由目標的克里斯多福符號構成的修正項。當目標是平直 R^n 時修正項消失，調和映射就只是分量為調和函數的映射；當定義域是一維時方程化為測地線方程；當目標是實數線時它是拉普拉斯方程。故「調和映射」確實是測地線、調和函數及更多者的共同屋頂。

調和映射是幾何分析的核心：它們把拓樸與分析相連（同倫類中的調和映射是一個典範代表），建模物理中的非線性西格瑪模型，而尋找它們的熱流進路（調和映射熱流）正是里奇流的範本。誠實的提醒在此尤為尖銳。存在性關鍵地依賴目標的曲率——映入非正曲率目標時，每個同倫類中都存在調和映射（埃爾斯-桑普森），但映入正曲率目標時，例如從曲面映入球面，熱流可能爆破並冒泡（bubbling），極小化者可能不存在或不光滑。從曲面出發的調和映射具共形不變性，這是二維特有的，也正是把它們繫於極小曲面與普拉托問題的關鍵；在更高的定義域維數，這個不變性喪失，能量極小化映射的奇異性確實可能出現。