PID 控制器（PID controller）
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PID 控制器是自動控制的主力——恆溫器、汽車定速巡航、無人機與工廠機械內部那看不見的邏輯。它是一個反饋控制器，藉由結合對誤差的三種觀點來決定修正的力道：它「現在」有多大、它「累積」了多久、它「變化」得多快。以恰當的比例混合這三者，便得到一個又快、又準、又平順的控制器，這正是它沿用近一個世紀的原因。
把誤差寫成 e(t) =（目標）-（實際）。PID 控制信號為 u(t) = Kp e + Ki 乘以 e dt 的積分 + Kd 乘以 de/dt——三項、三個旋鈕。比例項 Kp e 對當下誤差作出反應：誤差越大、推得越猛。積分項 Ki 乘以 e dt 的積分累積過去的誤差，所以任何殘留的微小穩定偏差最終都累積出足夠的修正將它抹去。微分項 Kd e' 看趨勢，在誤差快速縮小時放鬆，這阻尼了運動、防止衝過頭——就像在抵達目標前先煞車，而非一頭撞上去。
每一項都治癒一個特定的弱點，這正是要三項的全部理由。單用比例雖快，卻留下一個永久的殘餘誤差（誤差一小它就停止施力）。加上積分，便靠耐心地把殘餘累積掉而消滅它。加上微分，便馴服強比例與積分作用可能引起的衝過頭與振盪。三者一同調校，便交給你一個閉環系統：迅速抵達目標、精確地停在其上、且抵達時不劇烈擺盪。
誠實之處在調校。三個增益互相牽動，差勁的選擇會使迴路遲鈍、留它振盪，或把它逼向不穩定；調校半是理論、半是工藝。尤其微分項會放大量測雜訊（它做微分，放大抖動），所以實務上會加以濾波或限制。PID 受人喜愛，因為它簡單、且驚人地常奏效——但它不是魔法，調校不當的 PID 是設備來回追擺、嗡鳴或把自己震散的常見原因。
維持高度的無人機使用 PID：若它下沉到目標以下，比例項按差距成比例加大油門，積分項在它低太久時進一步加碼，而微分項在它快速朝目標上升時放鬆油門，使它不致衝過。三者合力把它平順地安定在設定高度。
誤差的現在（P）、過去（I）與趨勢（D），由三個增益混合。
PID 並非即插即用：三個增益互相牽動，差勁的調校會使迴路遲鈍、振盪或不穩定。微分項還會放大量測雜訊，所以通常會濾波——一個原始、未調校的 PID 引發麻煩的可能不亞於治癒麻煩。