羅朗級數與奇點分類
偉大的皮卡定理一瞥（the great Picard theorem）
/ pee-KAR /
卡索拉蒂-魏爾斯特拉斯已經說過，本性奇點附近的函數任意逼近每一個值。夏爾-埃米爾·皮卡（Charles Emile Picard）證明了更驚人的事：它不只是逼近——它實際上命中幾乎每一個值，而且每一個都命中無窮多次。本性奇點處的狂野，比稠密像所暗示的還要劇烈。
偉大的皮卡定理陳述：在本性奇點 z_0 的每一個去心鄰域中，函數 f 取到每一個複數值——至多除一個唯一例外——無窮多次。所以在整個複平面中，至多只有一個 f 在 z_0 附近可能躲開的「缺失值」；其餘每一個值都被取到，在任何多麼小的圓盤裡都一次又一次。那唯一的例外確實可能且必要：對 e^(1/z) 在 0 附近，缺失值是 0（指數函數永不為零），而 e^(1/z) 確實在 0 附近無窮多次取到每一個非零複數。
我們在此僅一瞥，是因為它的證明很難——遠遠超出羅朗級數，要動用模函數或關於正規族的蒙泰爾定理——也因為值分布的故事更完整地屬於整函數理論（它的姊妹，小皮卡定理，說非常數整函數至多漏掉一個值）。對分類奇點而言要緊的是這個標題：本性奇點如此劇烈，以致於至多除一個可能的例外，函數在任何鄰域中都把整個複平面實現無窮多次。解析函數失常的方式，沒有比這更戲劇化的了。
e^(1/z) 在 0 附近闡明了兩半：它永不取到的那一個例外值是 0，而其餘每一個複數——1、-7、3 + 4i，隨你舉例——都在任何去心圓盤 0 < |z| < delta 中被取到無窮多次。
唯一允許的例外（0）與「其餘一切皆無窮多次」都在 e^(1/z) 上發生。
例外至多一個值，而且確實可能出現，所以別把皮卡誇張成「取到每一個值」——對 e^(1/z) 而言值 0 確實被漏掉；而這一瞥並非證明，那比本領域其餘部分深刻得多。
又稱
另見