留數定理（residue theorem）

有些沿複平面閉合迴路的積分看似無望，但答案只取決於迴路內少數幾個讓函數發散的特殊點（它的極點）。留數定理說：整個迴路積分就等於 2 pi i 乘上一堆小數字——留數——的總和，每個極點各配一個。它把積分變成尋找那些數字的代數。

精確地說，若 f 在一條簡單閉曲線 C 上及其內部除了內部的孤立奇點 z_k 外皆全純，則 f dz 沿 C（逆時針）的迴路積分等於 2 pi i 乘上對 k 求和的 Res(f, z_k)。留數 Res(f, z_k) 是 f 在 z_k 附近羅倫展開式中 1/(z - z_k) 項的係數。對一階極點，Res(f, z_k) = 當 z -> z_k 時 (z - z_k) f(z) 的極限；對 n 階極點，則是 (z - z_k)^n f(z) 的第 (n-1) 階導數在 z_k 的值除以 (n-1)!。

這是物理學家最強大的積分工具。用一個大半圓在上半平面把實軸積分閉合（該弧的貢獻為零），就能算出原本棘手的實積分——例如 dx/(1 + x^2) 從 -infinity 到 infinity 的積分等於 pi，來自 z = i 的單一極點。它是傅立葉與拉普拉斯逆變換、傳播子與格林函數計算的基礎，而因果（推遲對超前）的規定，正來自迴路從極點的哪一側繞過。