傅立葉轉換（Fourier transform）

任何時間中的信號、或任何空間中的形狀，都能重建成不同頻率的純正弦波之和。傅立葉轉換就是那個稜鏡：它接收一個函數，告訴你其中含有多少每一種頻率。一個尖銳的脈衝含有所有頻率；一個純音只含一種頻率。物理就活在這個對偶裡——有時位置或時間是自然的語言，有時動量或頻率才是。

f(x) 的傅立葉轉換是 F(k) = f(x) e^(-i k x) 從 -infinity 到 infinity 的積分，而反轉換把它重建為 f(x) = (1/(2 pi)) 乘上 F(k) e^(i k x) dk 的積分（2 pi 放在哪裡各家約定不同）。它的威力在於把微分對角化：df/dx 的轉換是 (i k) F(k)，於是微分算符變成乘上 k 的多項式。一個域中的摺積變成另一個域中的普通乘法（摺積定理），而帕塞瓦定理說總能量在兩個域中算出來相同。

它無處不在：在量子力學中，位置與動量波函數互為傅立葉轉換，這正是為什麼 x 的寬度乘上 k 的寬度有一個固定的最小值——海森堡不確定性原理的數學根源。它定義了光學與信號處理中的頻譜，把常係數偏微分方程變成代數，而它的離散版本（FFT）是全部計算中最常用的演算法之一。