施圖姆-劉維爾理論（Sturm-Liouville theory）

為什麼這麼多不同的物理問題——一根振動的弦、一個量子井、一根桿子裡的熱——最後都得到一梯離散的允許模態，每個模態各有乾淨的形狀，而任何信號都能展開成它們之和？施圖姆-劉維爾理論是解釋這一切的單一框架。它是傅立葉級數及其所有特殊函數表親背後、一次涵蓋全部的通論。

一個施圖姆-劉維爾問題把二階常微分方程寫成自伴形式 d/dx[p(x) dy/dx] + q(x) y + lambda w(x) y = 0，在某區間上配以適當的邊界條件，其中 w(x) 大於 0 是權重。理論保證：本徵值 lambda_n 為實數，並構成一個遞增的無窮數列；本徵函數 y_n 對權重 w 正交（y_m y_n w dx 的積分在 m 不等於 n 時為 0）；而且——這是回報——本徵函數是完備的，因此任何行為良好的函數都能展開成 f(x) = c_n y_n(x) 之和，係數 c_n 由帶權內積求得。算符為自伴（厄米）這件事，正是迫使本徵值為實、本徵函數正交的原因。

傅立葉級數（p = w = 1）、勒讓德多項式、貝索函數與厄米多項式，全都只是帶不同 p、q、w 的特定施圖姆-劉維爾問題——這正是它們全都共享正交性與完備性的原因。最重要的是，不含時薛丁格方程就是一個化了裝的施圖姆-劉維爾問題：能量本徵值為實、定態彼此正交、以及任何態都能用能量本徵態展開，都不是量子的偶然，而是施圖姆-劉維爾定理。