馬克士威-波茲曼分布

一團氣體裡的分子跑得多快？並非全都同一速率，而是攤在一條特有的、不對稱的鐘形曲線上。有的分子慢吞吞，有的飛快；此分布告訴你，在給定溫度下有多少比例落在每一個速率區間。它是熱之統計觀點的第一項偉大勝利。

有兩個彼此相關的陳述。其一，速度分量是高斯型的：分量 v_x 的機率密度正比於 e^(-m v_x^2 / 2 k_B T)，這正是動能的波茲曼因子。其二，速率分布把它乘上速度空間中球殼的表面 4 pi v^2：f(v) = 4 pi (m / 2 pi k_B T)^(3/2) v^2 e^(-m v^2 / 2 k_B T)。最可能速率為 sqrt(2 k_B T / m)，平均速率為 sqrt(8 k_B T / pi m)，方均根速率為 sqrt(3 k_B T / m)，與 (1/2) m <v^2> = (3/2) k_B T 相符。

它是氣體逸散（effusion）、反應速率、讓蒸發與融合得以進行的那一小截極快分子尾巴、以及譜線都卜勒增寬的基礎。誠實地說，它是古典、稀薄的極限。完整的量子結果是費米-狄拉克或玻色-愛因斯坦分布；唯有當每個態的平均占據數極小，即 n lambda^3 << 1（稀薄且高溫，熱德布羅意波長遠小於粒子間距）時，馬克士威-波茲曼分布才湧現。