李代數（Lie algebra）

連續對稱——把一個物體轉任意角度、平移任意距離——構成稱為李群的光滑族。但一整群的旋轉很難駕馭。訣竅是聚焦在「什麼都不做」附近的微小動作：無窮小生成元。這些生成元，加上一條把它們結合起來的規則，就構成李代數——一個小巧、線性的物件，捕捉了對稱的全部局部結構。

李代數是一個配備了括號 [A, B] 的向量空間（一個滿足雅可比恆等式的反對稱積），這個括號衡量兩個無窮小變換不對易的程度。對矩陣群，括號就是對易子 [A, B] = AB - BA。代數由它的結構常數 f^c_(ab) 決定，見於 [X_a, X_b] = i f^c_(ab) X_c（物理約定，帶一個 i 使生成元為厄米）。把一個生成元取指數就回復一個群元素：一個有限旋轉是由角動量生成元 J 建構的 exp(-i theta J)。所以代數就是群在單位元處的線性化。

這是物理中對稱的語言。角動量對易關係 [J_x, J_y] = i hbar J_z 正好是李代數 su(2)；它的表示論決定了允許的自旋與軌道量子數，以及角動量整個的升降算符結構。同一套機制也分類了標準模型的規範對稱——SU(3) x SU(2) x U(1)——以及時空的勞侖茲與龐加萊對稱；粒子本身就是用這些代數的表示來標記的。