正則量子化
正則量子化是把古典哈密頓理論轉成量子理論的配方。它是狄拉克所架設的橋樑——他注意到古典帕松括號與量子對易子服從同一套代數。這個處方幾乎是機械式的：取你用正則座標寫出的古典系統，把座標與動量提升為算符，並用對易子取代帕松括號。量子力學便出爐了。
核心規則是對應 {f, g} -> (1 / i hbar)[F, G]，其中 [F, G] = FG - GF 是相應算符的對易子。套用到基本括號 {q_i, p_j} = delta_ij，即得正則對易關係 [x_i, p_j] = i hbar delta_ij（且 [x_i, x_j] = [p_i, p_j] = 0）——這是整個理論的種子，也是海森堡不確定性原理的源頭。古典可觀測量成為希爾伯特空間上的厄米算符；古典哈密頓量 H(q, p) 成為哈密頓算符；而古典時間演化律 df/dt = {f, H} 成為海森堡運動方程 dF/dt = (1 / i hbar)[F, H]。這個形式上的對應是精確的，也正是為什麼量子化的自然出發點是哈密頓表述、而非拉格朗日表述。
正則量子化是進入量子力學與量子場論的標準途徑，但它是一種啟發式方法、而非定理，並帶有真實的曖昧與侷限。由於算符不對易，像 q p 這樣的古典乘積沒有唯一的算符對應（該是 x_hat p_hat、p_hat x_hat，還是對稱平均？）——這就是排序曖昧性，只能靠額外的物理輸入來化解。格勒訥沃德-范霍夫定理證明，沒有任何量子化能在保持所有括號的同時、把所有古典可觀測量一致地映成算符，所以這個對應對高階量必定失效。它也依賴正則座標的選擇，並不直接尊重一般的正則變換。它是一把由古典通往量子世界、強大卻不完美的梯子。
從古典振子 H = p^2/(2m) + (1/2) m omega^2 x^2 出發，正則量子化施加 [x, p] = i hbar 並把 H 重新詮釋為算符。再由 x 與 p 定義升降算符，即得量子化能量 E_n = (n + 1/2) hbar omega——零點能與等間距能階，直接從單一個對易子 [x, p] = i hbar 湧現。
對古典振子做正則量子化，經由 [x, p] = i hbar，得到量子化能階 E_n = (n + 1/2) hbar omega。
正則量子化是有充分動機的啟發式方法，而非嚴格推導。不對易因子的排序是曖昧的，格勒訥沃德-范霍夫定理禁止對所有可觀測量都有完美的「括號變對易子」映射，且此程序依賴所選的正則座標——所以它必須以實驗與自洽性為引導，不能盲目套用。