勞侖茲變換
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若兩位觀測者彼此相對運動，同一起事件——比方說一枚煙火綻放——就會有兩套座標：在你的參考系中有一個位置與一個時間，在他們的參考系中則有另一個位置與時間。勞侖茲變換就是把一套換算成另一套的精確規則手冊。它是狹義相對論的字典，把任何事件的「何處與何時」從一個慣性系翻譯到另一個，並取代了牛頓所用那套天真的常識規則。
精確地說：對一個相對於你、沿 x 軸以速率 v 運動的參考系，座標的變換為 x' = gamma (x - v t) 與 t' = gamma (t - v x / c^2)，其中 gamma = 1 / sqrt(1 - v^2/c^2) 是勞侖茲因子，而垂直方向不變（y' = y、z' = z）。第一條方程式承載著長度收縮；第二條方程式中關鍵的 v x / c^2 一項把空間摻進了時間，這正是同時的相對性。在舊的伽利略規則裡，你只有 x' = x - v t 與 t' = t，時間對每個人都一樣——當 v 與 c 相比很小時，勞侖茲變換便退化為那些熟悉的規則。
勞侖茲變換是那部數學引擎，一切招牌結果——同時性、時間膨脹、長度收縮，以及讓光始終保持 c 的速度相加規則——都能由它一兩行推導出來。它也揭示了理論的深層統一：空間與時間並非各自獨立的舞台，而是一整塊交織的織物，即時空，而這個變換就是其中的一種旋轉。
在變換中令 delta-x' = 0（在移動系中靜止的時鐘的兩次滴答），就重新得到 delta-t = gamma 乘以 delta-t'，即時間膨脹公式。令 delta-t' = 0（同時量取一根運動桿子的兩端），便得到長度收縮公式。同一部規則手冊，導出所有效應。
每一種相對論效應，都是那唯一的勞侖茲變換的一個特例。
勞侖茲變換取代的是牛頓物理的伽利略變換，而不是反過來。伽利略那套簡單規則是低速近似，對汽車與行星運作得極好，但當 v 趨近 c 時就會嚴重失效。