雷利商（Rayleigh quotient）
/ RAY-lee /
假設你想知道史特姆-劉維問題最小特徵值有多大，卻無法精確解出。雷利商是一道把任何試驗函數變成一個數的配方——而最小特徵值正是你用這種方式能產生的最小的那個數。它把特徵值問題轉化為最小化問題。
對算子 L = -(p u')' + q u 配權重 w，函數 u 的雷利商是 R[u] = ([p (u')^2 + q u^2] 的積分) / (w u^2 的積分)，其中分部積分產生的邊界項被安排得吻合邊界條件。分子在物理上是儲存的能量（彎曲加位能），分母是加權的大小。若 u 恰為第 n 個特徵函數，則 R[u] 恰等於 lambda_n。對任何其他試驗函數，R[u] 都落在最低特徵值之上：lambda_1 = R[u] 在所有容許的非零 u 上的最小值。
這極為實用。代入任何尊重邊界條件的合理猜測，你立刻得到 lambda_1 的一個嚴格上界——而聰明的猜測給出精確的上界。這是雷利-里茲法與伽遼金法的核心，從量子化學（估計基態能量）到結構工程（估計挫曲與振動頻率）無處不用。更深層的結構——在子空間上最小化以達到更高的特徵值——就是極小極大刻劃。
對 [0, 1] 上 -X'' = lambda X 配 X(0) = X(1) = 0，真正的 lambda_1 = pi^2 = 9.87。試試簡單多項式 u = x(1 - x)：R[u] = ((u')^2 的積分) / (u^2 的積分) = (1/3) / (1/30) = 10，一個僅高出精確值 1.3% 的上界——而這只來自一個粗糙的猜測。
一個粗糙的試驗函數，給出最低特徵值嚴格且出奇緊的上界。
雷利商永遠給出 lambda_1 的上界，絕不給下界——所以它告訴你真正的特徵值至多為 R[u]，卻不告訴你少了多少。求下界確實困難得多，需要不同的工具。