庫朗-費雪極小極大原理（Courant-Fischer min-max principle）
/ koo-RAHNT FISH-er /
雷利商已告訴你：最小特徵值是能量比值在所有容許函數上的極小值。但你如何在不先知道所有更低者的情況下，抵達第二個特徵值、或第一百個？庫朗-費雪極小極大原理就是答案：它把每一個特徵值個別地刻畫為一個「先極小化再極大化」嵌套博弈的解——無需知道任何較低的特徵函數。
對狄利克雷拉普拉斯算子，雷利商 R[u] = (|grad u|^2 的積分) / (u^2 的積分)，第 n 個特徵值為 lambda_n = 在所有 n 維容許函數子空間 S 上取極小、其中對 S 中非零 u 的 R[u] 取極大。用文字說：審視每一個可能的 n 維子空間，在每一個之內找出最壞（最大）的雷利商，則 lambda_n 是這些最壞情形中最好（最小）的那個。也有對偶的極大極小形式。達到極小的子空間是前 n 個特徵函數的張成空間，而在其上極大由第 n 個特徵函數本身達到。對 n = 1，子空間就是直線，原理退回到單純的雷利商極小化。
回報是一個強大的比較工具。由於這個刻畫不涉及特徵函數——只有子空間與能量比值——你可以靠巧選試驗子空間來界定特徵值。縮小區域，每個特徵值都升高（較小的鼓鳴得較高）；加上一個正位勢，每個特徵值都上升；這種單調性由極小極大立即得到，否則會很難看出。它支撐特徵值的交錯定理、雷利-里茲與伽遼金數值方法的收斂（其算出的特徵值恆為上界）、以及外爾漸近律。它是譜的變分靈魂。
要從上方界定一片膜的 lambda_2，任選一個 2 維試驗子空間——譬如兩個在邊界上為零的簡單凸起函數的張成。算出該對函數上最大的雷利商；極小極大保證 lambda_2 不大於那個數。無需知道任何特徵函數，而更銳利的一對凸起給出更緊的界。有限元素程式正是這樣從上方估計特徵值的。
把特徵值當作子空間博弈——選一個試驗子空間，取其中最壞的比值，你就得到一個上界。
當你代入試驗子空間時，極小極大公式給出上界（在過小空間上的內層極大只會比真正的外層極小更小）。取得相配的下界則確實困難得多，通常需要對偶的極大極小形式或額外結構——故單一次雷利-里茲計算只從上方釘住特徵值，從不從下方。