外爾漸近律（Weyl's asymptotic law）
/ vile /
你聽不出鼓的確切形狀，但你聽得出它的大小。把一片振動膜的泛音堆疊起來，數有多少個低於某給定音高；長遠看，那個計數的成長方式由不多不少恰是鼓的面積（在更高維是體積）所決定。外爾漸近律精確陳述此事：狄利克雷拉普拉斯算子的高頻特徵值知道區域的體積與維數，而幾乎別無所知。
令 N(lambda) 為小於等於 lambda 的狄利克雷特徵值個數（計重數）。外爾定律說：當 lambda 趨於無窮，N(lambda) 漸近於 (omega_n 除以 (2 pi)^n) 乘 |Omega| 乘 lambda^(n/2)，其中 n 是維數，|Omega| 是區域的體積，omega_n 是 n 維單位球的體積。直觀是相空間計數：每個特徵模態在位置-動量空間中佔據一個體積為 (2 pi)^n 的固定胞元，而你只是在量「在能量低於 lambda 的那塊相空間區域裡能塞進多少個這樣的胞元」。反過來，第 n 個特徵值本身的成長如 lambda_n 漸近於某常數乘 (n 除以 |Omega|)^(2/n)——特徵值攀升的速率純由區域多大、有幾維所決定。
這是譜與幾何之間那條偉大的雙向道。它說主階的譜決定體積——故你確實聽得出鼓的面積，儘管卡茨表明你聽不出它完整的形狀。更銳利的展開找回更多幾何：N(lambda) 的下一項涉及邊界的表面積（其符號依狄利克雷或諾伊曼而定），而更精細的項感受曲率，這個故事盛開成譜幾何與熱核跡展開。外爾定律也支撐物理——它正是給出空腔中電磁模態的瑞利-金斯密度、以及量子盒中態密度的那個計數。
在 2D 矩形上，特徵值為 pi^2 (p^2/a^2 + q^2/b^2)（p、q 為正整數）。數出落在一個面積正比於 lambda 的橢圓內的格點 (p, q)，得到 N(lambda) 漸近於 (矩形面積 除以 (4 pi)) 乘 lambda——這正是二維的外爾定律，矩形的面積作為係數出現。低於音高 lambda 的泛音數隨 lambda 線性成長，其速率僅由面積決定。
數低於 lambda 的特徵值，到主階，不過就是在量區域的體積。
外爾定律是關於高特徵值的漸近陳述——它對最低的那幾個說不出任何可靠的話，而那幾個重度依賴形狀。它也表明主階譜項只看得到體積，這正是不同形狀能共享一個譜（卡茨的問題）的原因：面積相同就有相同的外爾漸近，故主項無法區分它們。