狄利克雷原理（Dirichlet's principle）
/ DEER-ish-lay /
自然界在安定到平衡時，傾向極小化能量——一張張緊的膜下垂成儲存最少彈性能的形狀，而那形狀結果是調和的。狄利克雷原理把這物理直覺化為方法：在所有具給定邊界值的函數中，調和的那個恰好是極小化某種能量的那個。所以你可以不直接求解方程，而是藉由極小化能量來找到狄利克雷問題的解。
精確地說，把函數 u 的狄利克雷能量定義為其梯度長度平方在區域上的積分，即 |grad u|^2 的積分。狄利克雷原理表明：在所有在邊界上取指定值 g 的足夠平滑函數中，極小化此能量的那個就是狄利克雷問題的解——它是調和的。這聯繫透過變分法：令能量的一階變分為零（此泛函的歐拉-拉格朗日方程），恰好給出 Laplacian u = 0。所以調和函數就是能量極小化者，而極小化能量是求解拉普拉斯方程的另一種變分式刻畫。對帕松方程，能量多了一個源項，極小化者解 Laplacian u = f。
這個變分觀點極為強大。它是有限元素法的概念種子（在試驗函數的有限維空間上極小化能量），也是橢圓型方程現代存在理論的種子（直接法：取一個極小化序列並抽出極限）。但它帶著一則著名的警世故事。黎曼用狄利克雷原理時當作極小化者顯然存在；魏爾斯特拉斯指出一個有下界的能量未必達到其極小值，故原理如其所述並不嚴格。直到數十年後它才被挽救（由希爾伯特與在正確函數空間中的直接法）。教訓長存：極小化者的存在是個需要正確框架的真定理，而非天上掉的午餐。
要在指定了邊緣溫度的板上找穩態溫度，把「求解 Laplacian u = 0」換成「在所有匹配邊緣的內部溫度分布中，找狄利克雷能量最小的那個」。把那個極小化在一張簡單基底函數的網格上離散化，你基本上就有了有限元素法。
求解拉普拉斯方程等於在容許函數上極小化梯度能量。
魏爾斯特拉斯的批評是著名的告誡：一個有下界的能量未必達到其極小值，故「極小化者存在」是個真定理而非自明之事——它需要正確的函數空間（如今是索伯列夫空間）。黎曼原本的用法是個缺口，後由希爾伯特填補。