愛因斯坦場方程（Einstein field equations）
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為什麼行星繞著太陽公轉？為什麼海平面上的時間比山上略慢？兩個黑洞旋繞合併時，又如何在宇宙中送出漣漪？廣義相對論用一個想法回答這三者：質量與能量彎曲了時空本身的幾何，而物體沿著彎曲幾何中最直的路徑運動。愛因斯坦場方程正是連接兩者的定律——它精確說明物質如何彎曲時空。這是偏微分方程的深水區。
簡潔地寫出，方程為 G = (8 pi G / c^4) T，左邊的 G 是愛因斯坦張量——由曲率（里奇曲率與度規）構成的特定組合，這些曲率由未知量（即編碼距離與時間的度規張量 g）的二階導數構成——右邊的 T 是描述物質與能量的應力-能量張量。你要解的未知量正是度規 g 本身：時空的十個耦合函數。展開來，這是一組十條非線性二階偏微分方程。它們不是線性的（曲率對度規導數呈二次依賴），而在適當的規範下構成一個非線性雙曲型系統——波動式的、具有限傳播速度：這個有限速度正是重力以 c 傳播、重力波得以存在並被探測到的原因。
這些方程極為困難：非線性把一切耦合在一起，已知的精確解屈指可數（史瓦西黑洞、宇宙學模型、平面波）。真實的預測——黑洞碰撞、早期宇宙——需要數值相對論，在超級電腦上求解這個雙曲型系統。它們標誌著本領域誠實的遠端前沿：其適定性本身就是一條艱深定理（舒凱-布呂阿），其長時間行為與奇異性形成是活躍的研究課題，而它與量子力學的統一仍屬未知。
2015 年 LIGO 探測到重力波，觀測到兩個合併黑洞所造成的時空漣漪——這直接證實了愛因斯坦方程的波動式（雙曲型）本質。要與觀測到的波形相符，需要多年數值相對論對整個非線性系統的求解，因為並不存在合併過程的閉式解。
十條耦合的非線性偏微分方程；雙曲型，故重力以 c 傳播、波得以存在。
簡潔的「G = 8 pi T」掩蓋了巨大的複雜性：它是十條方程，必須先固定座標（規範）自由度，它才算得上一個乾淨的雙曲型系統，而它的多數解只能以數值方式求得。記號的優雅並不等於數學的簡單。