參數化路徑（parametrized path）

在你能沿曲線積分之前，你需要對曲線本身有一個誠實的描述。參數化路徑是由實參數 t 的連續函數 z(t) 給出的平面曲線，t 在某區間上變動，例如從 a 到 b。當 t 增大時，點 z(t) 描出曲線，而 t 增大的方向確定了一個定向——你沿曲線行進的方向。可以把 t 想成一座時鐘，z(t) 想成一位行人在時刻 t 所站的位置。

對圍道積分而言，我們希望路徑相當溫順：「光滑」路徑具有連續且非零的導數 z'(t)，因此處處有明確定義的切線方向。「圍道」（或分段光滑路徑）是若干光滑片段首尾相接而成的有限鏈——例如三條直線段構成一個三角形，或四條構成一個矩形。我們容許尖角，但不容許狂野的行為。若 z(a) = z(b)，即回到起點，則路徑為「封閉」；若中途不自我相交，則為「簡單」。

同一條幾何曲線可以用許多方式參數化——快或慢、不同的時鐘——而保持定向的重新參數化不會改變圍道積分。真正重要的是作為集合的曲線連同它的定向。這就是為什麼人們會隨口說「圍道 C」，同時悄悄在口袋裡帶著一個參數化以進行實際計算。