平面中的曲線、路徑與弧（curves, paths and arcs in the plane）

平面中的曲線是一個移動的點所描出的軌跡。我們用參數化來描述它：一個連續函數 z(t) = x(t) + i y(t)，當實參數 t 跑遍區間 [a, b] 時，把曲線描繪成複平面中的一條路徑。點 z(a) 是起點，z(b) 是終點。把 t 想成時間，z(t) 就是一個粒子在平面中漂移的位置，曲線就是它的軌跡。

幾個標準的區分能把這整理清楚。弧（arc）是由這樣一個連續的 z(t) 給出的曲線。若它從不自我交叉（z(t) 不取同一值兩次），就是簡單弧。若它回到出發處 z(a) = z(b)，就是閉曲線；簡單閉曲線（若爾當曲線）是沒有自我交叉的閉迴路，像圓或多邊形。光滑曲線有連續且非零的導數 z'(t)——有定義良好的切線方向、沒有尖角——而路徑或圍道通常是有限多條光滑弧首尾相接的鏈，允許有尖角。例如 z(t) = e^(i t)，t 從 0 到 2 pi，是逆時針走一圈的單位圓，一條簡單閉光滑曲線。

曲線是複分析下半場的舞台。它們是函數作用的對象（你把一條曲線推過 f，看它的像如何彎折），而且關鍵地，它們是你沿著去積分的圍道。整套圍道積分理論、柯西定理、留數定理與輻角原理，都建立在沿這些路徑對函數積分之上——所以對參數化曲線、它們的定向（行進方向）、以及一條何時能形變成另一條有清楚的掌握，是後面一切所立足的基礎。