選擇停止定理（optional stopping theorem）

一場公平賭局在你固定打有限回合期間，期望值維持不變。但若你在一個聰明、依資料而定的時刻收手呢——第一次領先 10 元就退、或隨機漫步一觸到零就退？精選的停止規則能否鎖定一個優於公平的平均？選擇停止定理（也叫選擇抽樣）給出精確答案：在恰當條件下，在一個隨機時刻 T 停下一個鞅，期望仍不變，E[M_T] = E[M_0]。聰明地擇時收手同樣無法打敗公平賭局——而反過來用，它能用一行解掉一大堆「要多久」與「哪個邊界」的問題。

設定用到停時 T：一個你能在它到來時就認出、只憑過去就能判斷的隨機時刻（形式上，事件 {T = n} 屬於 F_n——你永遠不需要看見未來才知道自己已停下）。停止值 M_T 是你在那個隨機時刻的財富。定理說只要下列數個條件之一成立，便有 E[M_T] = E[M_0]，而你「必須」檢查一個——這結果一般而言並不成立。常見的充分條件是：(a) T 被某常數所界；或 (b) T 幾乎必然有限且鞅有有界增量；或 (c) E[T] 有限且增量有界，或停止過程 M_(T and n) 一致可積。對下鞅，等號變為 E[M_T] >= E[M_0]；對上鞅，E[M_T] <= E[M_0]。

它的威力在於把困難計算變成一行。賭徒破產：一個公平漫步從 0 與 N 之間的 k 出發；因為漫步是鞅，在它首次觸及邊界的停時 T 有 E[M_T] = k，又 E[M_T] = N * P(觸 N) + 0 * P(觸 0)，於是 P(到達 N) = k/N——立刻得出。期望時長：過程 S_n^2 - n 是鞅，對它施以選擇停止便一舉得到吸收前的期望時間 k(N - k)。關鍵的提醒（由加倍系統所示）是你「必須」驗證一個條件。對一個無界的公平漫步與「第一次領先 1 就停」的規則，漫步是常返的故 T 有限，然而 E[M_T] = 1 而非 0——定理失敗，因為沒有任何有界性條件成立。永遠要檢查前提；選擇停止是一把鋒利的工具，不是免費午餐。