一致可積性（uniform integrability）

一列以日常意義收斂的隨機變數，何時也在平均意義上收斂——使均值的極限等於極限的均值，沒有質量悄悄漏向無窮？單一個可積變數幾乎不把它的期望大小放在極端尾部。一致可積性要求一整族變數步調一致地做到這件事：可以同時、一致地讓「所有」成員的尾部貢獻都變小。它是防止機率質量在極限中逃向無窮的精確條件，也是把幾乎必然收斂或依機率收斂升級為均值收斂所缺的那味料。

形式上，隨機變數族 {X_i} 是一致可積的，若大值區域所承載的期望大小一致地（跨整族）縮到零：對 i 取 E[ |X_i| 乘以 1(|X_i| > K) ] 的上確界，在 K 趨於無窮時趨於 0。換言之：選一個高的截斷 K；|X_i| 中來自超過 K 那部分的平均量，可藉由取夠大的 K 而被壓到任何容差以下，而「同一個」K 對族中每個成員都管用。值得記住的充分條件：任何被單一可積變數支配的族都是一致可積（這正是控制收斂定理成立的原因）；任何對某 p > 1 在 L^p 中有界的族（sup E[|X_i|^p] 有限）都是一致可積；以及一個對本領域關鍵的事實——由對單一可積 Y 取條件所生成的族 { E[Y given G]：G 為任意子 σ-代數 } 是一致可積的。

它的關鍵定理：若 X_n 依機率收斂到 X「且」{X_n} 一致可積，則 X_n 在 L^1 中收斂到 X，特別地 E[X_n] 收斂到 E[X]。對鞅而言這是決定性的——一個鞅恰好在它一致可積時於 L^1 收斂，而這樣的鞅正是一個閉合成 M_n = E[M_infinity given F_n] 的 Doob 鞅，於是選擇停止定理即使在無界停時也適用。要內化的提醒：單憑幾乎必然收斂「不」給出均值的收斂（加倍財富在均值上逃向零，其均值卻維持在 1）；一致可積正是堵住那個漏洞的假設。