控制收斂定理（dominated convergence theorem）

這是用來「把極限與期望值對調」的主力定理，也是實務中你最常動用的一個。它不要求變數遞增（不像單調收斂），也不要求非負（不像基本情形）。它只要求一道單一、簡單的防護：整個數列始終被困在某個固定、可積的「天花板」之下。只要你能找到這樣的天花板，對調就有保證。

精確地說：設 X1, X2, X3, ... 逐點收斂到 X，且存在單一控制變數 Y 滿足 E[Y] 有限，使得對每個 n 與每個結果都有 |Xn| <= Y。則 E[Xn] 收斂到 E[X]，即 lim E[Xn] = E[lim Xn]。Y 的角色是阻止那個會在一般情形下破壞對調的搗亂——也就是機率質量逃逸到無限遠處。由於沒有任何 Xn 能凸出到 Y 之上，便沒有任何質量能跑到積分看不見之處，於是「積分的極限」必等於「極限的積分」。其證明是把 Fatou 引理乾淨俐落地用在 Y + Xn 與 Y - Xn 上的兩行論證，從兩側把極限夾住。

在機率中這是日常工具：它使「在期望值符號下求導」、「把極限挪進 E[...] 之內」、以及「對逼近數列證明 E[Xn] -> E[X]」變得正當——例如說明特徵函數、動差母函數與密度的連續行為。唯一誠實的警告是：控制變數 Y 必須可積、且不可依賴 n；一個隨 n 增長的界、或每個 n 各有有限界卻沒有共同可積天花板，都不夠，此時結論可能真的失效（逃逸尖峰的例子正展示了這點）。