連續時間選擇停止定理（optional stopping in continuous time）

停時 T 是一個可由過去判定的隨機時間：對每個 t，{T <= t} 屬於 F_t（連續時間用 <= 而非 < 正是因為右連續性）。選擇停止斷言：鞅在停時取樣時仍保持公平：E[M_T] = E[M_0]，更一般地 M 沿停時仍是鞅，對停時 S <= T 有 E[M_T | F_S] = M_S。它是用鞅做計算最常用的工具——擊中機率、預期離出時間、賭徒破產型恆等式——而連續時間版本帶有不能捨棄的真實假設。

精確陳述：設 (M_t) 為 cadlag 鞅、S <= T 為停時。若 T 有界（T <= c 幾乎必然），則 E[M_T | F_S] = M_S。T 的有界性至關重要；要容許無界 T 需要可積性的升級，最乾淨的是一致可積性：若 M 是 UI 鞅（等價地，被某可積 X 所閉，故 M_t = E[X | F_t]），則對所有停時 S <= T（含 T = infinity，此時 M_infinity 為閉合）皆有 E[M_T | F_S] = M_S。無界 T 的其他充分條件包括：M 被某可積隨機變數控制，或 M_{T and t} 在 t 上一致可積。連續時間的證明通常以由上而下的二進逼近將 T 離散化（藉右連續性使逼近仍為停時），再利用 cadlag 路徑與杜布收斂定理取極限。

選擇停止最需要誠實，因為天真的 E[M_T] = E[M_0] 在缺乏假設時是錯的。布朗運動是鞅，但若 T 為首次擊中水準 1 的時間，則 M_T 恆為 1，故 E[M_T] = 1 != 0 = E[M_0]——T 幾乎必然有限但無界，且 B 非 UI。指數鞅 exp(B_t - t/2) 停止後不收斂到任何閉合變數。補救之道永遠是驗證以下其一：T 有界、一致可積、被控制、或 L^p 控制。將選擇停止與巧選的鞅配對（常與二次變差鞅 M_t^2 - <M>_t 並用）是求離出分布與 Wald 型恆等式的標準途徑。