cadlag 鞅（右連續有左極限鞅）

連續時間中的鞅是一個適應、可積的過程 (M_t)，對所有 s <= t 滿足 E[M_t | F_s] = M_s——這是第一冊的公平賭局性質，如今以連續參數為指標。微妙之處在於：這只把 M 定義成一族隨機變數的等價類（每個時刻 t 一個），對路徑在各時刻之間或之上的行為毫無控制。cadlag 是路徑正則性的標準選擇：一個函數若處處右連續且每點皆有左極限，便稱為 cadlag（法文 continu à droite, limite à gauche）。所謂 cadlag 鞅，即是幾乎每條樣本路徑都是 t 的 cadlag 函數的鞅。

cadlag（而非完全連續）才是正確概念，原因有二。其一，許多基本的鞅確實會跳——例如補償卜瓦松過程 N_t - lambda t，或純跳躍李維鞅的值過程——它們都是完美的鞅；若要求連續性便會把它們排除在外。其二，杜布正則化定理保證：在通常條件下，每個鞅（以及每個期望右連續的上鞅）都有 cadlag 修正，因此 cadlag 並非失去一般性，而是自然的標準版本。使用 cadlag 版本能使上確界 sup_{s <= t} |M_s| 可測、使擊中時間成為停時，並給出定義良好的左極限過程 M_{t-} 與跳躍過程 Delta M_t = M_t - M_{t-}，後者驅動伊藤公式中的跳躍項。

cadlag 是幾乎全部隨機微積分的基本路徑假設：半鞅、可選與可料二次變差、隨機積分、以及隨機微分方程的解，全都建立在 cadlag（往往是連續的）積分子之上。提醒在於：「鞅有 cadlag 修正」需要濾過滿足通常條件，且路徑右連續性還需 t -> E[M_t] 右連續（對鞅而言自動成立，因該映射恆為常數）。兩個 cadlag 過程若在每個固定時刻幾乎必然相等且皆為 cadlag，則它們不可區分——對幾乎每個 omega 路徑完全重合——這正是 cadlag 把弱的「修正」概念升級為強的「不可區分」概念的原因。