半鞅（semimartingale）

半鞅是你能對之積分、且仍保有合理隨機微積分的最一般過程——它正是恰當的「好的積分子」類。動機如此：隨機積分需要一個增量不太狂野的積分子，但布朗型波動（局部鞅部分）與光滑或跳躍的趨勢（有限變差部分）都被容許、也都在應用中出現（SDE 的解既漂移又擴散）。半鞅就是恰由這兩種成分構成的過程，而一條深刻定理指出：它們正是好積分存在的那些積分子。

定義：適應 cadlag 過程 X 稱為半鞅，若它容許分解 X_t = X_0 + M_t + A_t，其中 M 為 M_0 = 0 的（cadlag）局部鞅，A 為 A_0 = 0 的適應 cadlag 有限變差過程（其路徑在每個緊區間上具有限全變差）。故半鞅即局部鞅加有限變差漂移。此分解一般不唯一（可在兩部分間挪動一個有限變差的局部鞅），但若要求 A 可料，則 X 稱為特殊半鞅且分解唯一——這個典範分裂本質上是偽裝的杜布-邁耶分解。每個局部鞅、每個適應有限變差過程、每個李維過程、每個伊藤 SDE 的解，以及這些的任何光滑（C^2）函數，又是半鞅；此類在所需運算下封閉。

為何是正確概念：Bichteler-Dellacherie 定理把這個啟發式說精確——X 是半鞅，若且唯若初等隨機積分 H -> integral H dX 在簡單可料被積函數上以適當意義連續（一種無免費午餐／好積分子的刻畫）。對半鞅，我們有完整的伊藤公式、二次變差 [X]、對 X 的隨機積分、以及在 C^2 映射下的穩定性。誠實的邊界：並非每個有趣的過程都是半鞅。Hurst 指數 H != 1/2 的分數布朗運動不是半鞅（其路徑的變差標度不對），故伊藤理論不能直接套用於它——這正是粗糙路徑理論等推廣存在的原因。而局部鞅部分為局部（非真）鞅至關重要：堅持要真鞅部分會排除許多半鞅。