開集（open set）
把開集想成一塊邊緣沒有圍籬的區域。如果你站在開集內的任何地方，總能朝每個方向至少跨出極小一步而仍在其中——集合裡沒有任何一點恰好貼在邊界上、毫無餘地。數線上的開區間 (0, 1) 就是樣板：其中任一點，比如 0.999，周圍都還有一小塊空間仍在 (0, 1) 內，但端點 1 被刻意排除在外，因為在 1 那裡你就站在懸崖邊、沒有任何挪動的空間了。
在普通的直線或平面上，精確的判準用到小球。一個集合 U 是開的，若對 U 中的每一點 p，都存在某個半徑 r > 0，使得以 p 為心、半徑 r 的整顆球都留在 U 內——每一點都有迴旋的餘地。在一般的拓樸空間裡沒有半徑，所以邏輯反過來：開集就是你一開始宣告（且須滿足三條公理）的那一族，一個集合是開的，恰當它屬於那一族。一點 p 的鄰域（neighbourhood）則是任何包含「某個含 p 之開集」的集合；這就是「圍住 p 的區域」的拓樸版本。
開集是整個拓樸學的承重觀念：連續、極限、連通、緊緻無一不是純粹用它們的語言定義，全程未提距離。誠實的微妙之處在於：「開」並不是日常語言中「閉」的反面。一個集合可以既開又閉（如整個空間、或空集），也可以兩者皆非（如直線上的半開區間 [0, 1)）。「閉」意指其補集是開的——而不是指「不開」。
在平面上，所有滿足 x^2 + y^2 < 1 的點構成的圓盤是開的：內部任一點到圓心的距離都小於 1，所以圍住它的一個小圓仍能塞進去。但圓盤 x^2 + y^2 <= 1 不是開的，因為恰在邊緣上（x^2 + y^2 = 1）的點毫無餘地——圍住它的每顆球都會戳到外面。
開意味著嚴格不等式、不含邊界；邊緣正是開性所排除的部分。
別把「開」與「閉」讀成對立：一個集合可以兩者皆是（既開又閉）或兩者皆非，而「閉」的定義是「補集為開」，並非「不是開的」。