同胚（homeomorphism）
/ HOH-mee-oh-MOR-fizm /
這就是橡皮膜版的等號。在拓樸學裡，若你能把一個形狀透過拉伸、收縮、彎曲變成另一個，但絕不撕裂、絕不黏合，這兩個形狀就算「相同」。著名的口號是：咖啡杯等於甜甜圈——杯子的把手就是甜甜圈的洞，你能把一個無切割地、光滑可逆地揉捏成另一個。同胚就是那個用以證實「兩空間在恰好這個意義下相等」的精確對象。
精確地說，空間 X 與 Y 之間的同胚是一個從 X 到 Y 的函數 f，滿足：(i) 一對一的對應——Y 的每一點都被恰好命中一次，所以 f 有反函數；(ii) 雙向連續：f 連續，且它的反函數也連續。這裡的連續是拓樸式的：f 連續意指每個開集的原像都是開集，這在不用任何尺的情況下捕捉了「鄰近的點映到鄰近的點」。雙向這個條件很關鍵：它禁止任何切割（會把鄰居撕開）與任何黏合（會把相異點壓在一起）。當這樣的 f 存在時，我們說 X 與 Y 同胚，意指它們在拓樸上相等。
同胚是定義整門學科的等價關係：拓樸學恰恰是研究在同胚下不變的性質——也就是拓樸不變量，如洞的個數、連通性、緊緻性。最關鍵的誠實之處是：同胚遠比全等、甚至比度量上的「等距」要弱得多。咖啡杯與甜甜圈同胚，但顯然大小、形狀、曲率都不同；一個小圓與一個巨大的圓同胚。所以「拓樸上相同」告訴你的是洞與連通性，而對距離、角度、大小一無所言。
用 f(x) = x / (1 - x^2)，或同樣俐落地用 f(x) = tan(pi x / 2)，把開區間 (-1, 1) 映到整條實數線。兩者都連續、一對一、且反函數連續，所以有界的區間 (-1, 1) 與整條無限長的直線同胚——儘管一個「很短」、另一個無盡。長度並不是拓樸性質。
一個有限的開區間在拓樸上與無限長的直線完全相同；大小對拓樸而言是看不見的。
兩個方向都必須連續：一個連續的一對一映射未必是同胚（把直線繞到圓上是連續的，但展開時可能撕裂），而同胚也絕不蘊含同樣的大小或形狀。