尤拉示性數（Euler characteristic）

尤拉示性數是你能賦予一個曲面的一個整數，而令人驚奇的是，無論你怎麼拉伸、彎曲、重新畫它，這個數都不變。用一張由頂點（角）、邊（線）、面（面片）構成的網覆蓋曲面，然後算 chi = V - E + F：頂點數減邊數加面數。奇妙之處在於，你能把同一個曲面用上百種不同方式織網——粗的、細的、歪斜的——而總得到一模一樣的數。對球面它總是 2；對環面總是 0。正是這種頑固的恆定，使 chi 成為拓樸不變量。

方法的平實步驟如下。取任一曲面，在上面畫一個把它分割成大致平坦的多邊形面片的網路（三角剖分或任何胞腔映射），數出頂點數 V、邊數 E、面數 F，組成 V - E + F。為何它不依賴你怎麼畫網？因為每個基本變動都讓它保持不變：在既有的一條邊上加一個新頂點，你多了一個頂點、一條邊，所以 V - E + F 不變（+1 - 1）；畫一條新邊把一個面切成兩半，你多了一條邊、一個面，仍不變（-1 + 1）。既然任兩個網都能用這類動作互相連繫，它們必給出相同的 chi。

尤拉示性數是計數與形狀之間的橋梁。對閉的可定向曲面它滿足 chi = 2 - 2g，所以 chi 直接讀出虧格——在任一個網上數 V、E、F，你就知道曲面有幾個洞，根本不必用眼睛去找。它推廣了尤拉多面體公式，主宰連通和的算術 chi(A # B) = chi(A) + chi(B) - 2，並且是深刻的高斯-博內定理的拓樸那一半，那定理把這個組合數與總曲率綁在一起。誠實的告誡：單憑 chi 並不能確定一個曲面——環面與克萊因瓶 chi 都是 0——你還得知道可定向性才能把曲面釘死。