連通和（connected sum）
連通和是把兩個曲面加起來造出一個新曲面的方法。配方妙在簡單：拿兩個曲面，各自挖掉一個小圓盤（在每個上面留下一個圓形的洞），再沿著那兩條圓形邊緣把兩個曲面黏合、封成一個。結果寫作 A # B，唸作「A 連通和 B」。用這方式把一個環面接到另一個環面，就得到兩個洞的雙環面；你實實在在地把一個甜甜圈透過一根共用的小管子焊到了另一個上。
更仔細地說：從曲面 A 移去一個開圓盤、從曲面 B 移去一個開圓盤，使每個現在各有一條圓形邊界，然後把那兩條邊界圓逐點黏合（認同）。只要 A 與 B 原本都沒有邊界，這兩片就融合成單一相連、沒有殘餘邊界的曲面。這種加法很像普通算術——它可交換（A # B 等於 B # A）且可結合——而球面是它的「零」：A # 球面就還是 A，因為從 A 挖掉一個圓盤、再用來自球面、帶洞的圓盤補上，什麼也沒改變。
連通和是曲面分類背後的引擎。每個閉的可定向曲面都是 g 個環面的連通和（給出虧格 g），每個閉的不可定向曲面都是若干射影平面的連通和——所以整個動物園都由加幾個基本零件造出。它與不變量配合得很好：虧格相加（可定向曲面的 genus(A # B) = genus A + genus B），而尤拉示性數服從 chi(A # B) = chi(A) + chi(B) - 2。誠實的告誡：黏合必須尊重定向才會落在可定向家族裡，而一旦加進一個射影平面或克萊因瓶，你就永久掉進不可定向家族——你絕無法靠加法再回去。
算 (環面) # (環面) 的虧格。環面虧格為 1，所以相加得虧格 1 + 1 = 2——雙環面。用尤拉示性數驗證：每個環面 chi = 0，而 chi(A # B) = chi(A) + chi(B) - 2 = 0 + 0 - 2 = -2，這與虧格 2 的曲面 chi = 2 - 2g = 2 - 2(2) = -2 相符。洞的算術與 chi 的算術一致，理應如此。
兩個環面連通和得到虧格 2；每次 chi 減 2，始終與 chi = 2 - 2g 一致。
一旦某個不可定向的零件（射影平面或克萊因瓶）進入連通和，結果就永久不可定向；你無法靠加入可定向零件把它抵消掉。