克萊因瓶（Klein bottle）
/ KLYNE /
克萊因瓶是最著名的封閉曲面，它只有一面、沒有「裡」與「外」之分。想像一個瓶子，它細窄的頸彎過來、穿回自己的瓶壁、再從內部接到瓶底——於是看起來像「瓶內」與「瓶外」的，其實是同一塊單一的區域，平滑相連。它沒有邊緣、沒有你能倒進去而留得住的開口；它是個密封的曲面，卻又沒有獨立的內部。它以菲利克斯·克萊因（Felix Klein）命名，他在 1882 年描述了它。
精確地造出來，克萊因瓶是這樣得到的：把一個矩形相對的兩邊用普通方式黏起（做成圓柱），再把另外兩邊帶著翻轉黏起——首尾相接而非直直對黏。那唯一一次反向的黏合，正是讓它不可定向的原因：沿右側迴圈帶著的順時針箭頭，回來時變成逆時針。等價地，用連通和的語言說，克萊因瓶是兩個射影平面的連通和，而且它能沿中間剪成兩條莫比烏斯帶。它的尤拉示性數 chi = 0，與環面相同，但它是環面那位不可定向的表親。
克萊因瓶的角色，是作為封閉不可定向曲面一個乾淨而鮮明的例子——莫比烏斯帶之後的下一個角色，現在完全沒有邊界了。關鍵的誠實之處：你在玻璃模型或圖片裡看到的「克萊因瓶」是個騙局。在真正的三維空間裡，這曲面不穿過自己就無法存在，而玻璃瓶頸明顯地與玻璃瓶身相交。那個自我相交並不屬於真正的克萊因瓶；它是把一個四維對象硬塞進三維所留下、無可避免的疤痕，而在四維裡它毫無交穿、完美平滑地存在。
沿一條合適的封閉曲線剪開克萊因瓶，它會裂成兩條莫比烏斯帶——這是連通和配方的逆操作，那配方用兩個射影平面把它造出來。把它的帳目與環面比較：兩者 chi 都是 0，然而在環面上你能一致地把「外側」漆成紅、「內側」漆成藍，而在克萊因瓶上紅與藍的區域終究會撞在一起，因為只有一面可漆。
克萊因瓶可剪成兩條莫比烏斯帶；與環面不同，它只有一面可漆。
玻璃與電腦的「克萊因瓶」會自我相交，是因為三維空間容不下真正的曲面；真正的克萊因瓶沒有自我交穿，要在四維或更高維才能平滑嵌入。