連通性（connectedness）

連通性問的是關於形狀最簡單的問題：它整個是一塊，還是散成幾塊分開的？一坨單一的實心團塊是連通的；分開擺著的兩團則不是。紙上畫的數字 8 是連通的，但等號 = 不是——它是中間有縫的兩筆。這個「整個一塊」的性質是拓樸不變量，所以能在任意拉伸彎曲下倖存：你無法在不切割、不黏合的情況下，靠變形把一個形狀接起來或拆開。

精確的定義是一段巧妙的反面邏輯。一個空間 X 是不連通的，若你能把它分成兩個非空、不重疊、且合起來蓋住 X 的開集——乾淨俐落地裂成兩個開的半邊、中間毫無交集。當不存在這樣的分裂時 X 就是連通的；你就是無法把它撬成兩塊開的部分。一個密切相關且更直觀的概念是路徑連通（path-connected）：X 是路徑連通的，若它任兩點都能用一條完全落在 X 內的連續路徑相連——你能不離開空間地從任一處走到任一處。路徑連通必蘊含連通，而對日常的形狀（區域、曲線、曲面）兩個概念一致。

連通性是你用來區分空間時最先抓取的不變量：若一個空間是兩塊、另一個是一塊，就不可能有同胚把它們對上，因為同胚保持塊數。它也撐起了中間值定理——連續函數在連通區間上不能跳過某個值——這其實就是「連通集的連續像仍連通」這句話。誠實的提醒：一般而言連通與路徑連通並不相同（「拓樸學家的正弦曲線」連通但非路徑連通），不過這個區別只在奇異空間上才會咬人。