第二平移定理（second shifting theorem）

當你把某件事在時間上延後——讓一個過程晚兩秒才開始——在 s 域裡會發生什麼？第二平移定理給出精確答案：時間上的延遲，會變成變換中乘以指數 e^(-as)。它是第一平移定理（處理時間上乘以 e^(at)）的搭檔；這一個處理的是時間上的滑移。

確切的規則如下。若 f(t) 的變換是 F(s)，那麼延遲並打開的函數 u(t - a) f(t - a) 的變換是 e^(-as) F(s)。仔細讀：你取原訊號 f，把它的自變數平移 a，使它在 t = a 而非 t = 0 開始，再乘上階躍 u(t - a) 使它在此之前保持沉默，回報就是前面多一個因子 e^(-as)。你最常用的是反方向：在答案裡看到 e^(-as) F(s)，先把 F 反變換得到 f(t)，再延遲它——寫成 u(t - a) f(t - a)。實務上最棘手的，是把強迫項改寫成自變數真的讀作 (t - a) 而非 t。

這條定理是讓拉普拉斯方法能處理「中途才打開的強迫項」的引擎——繼電器閉合、開關扳動、脈衝晚到。沒有它，分段與延遲的輸入會是一團分情形的亂麻；有了它，每個延遲不過是一個你隨身攜帶的乾淨指數標籤。