拉普拉斯反變換（inverse Laplace transform）

如果拉普拉斯變換是把時間語言翻成 s 語言，拉普拉斯反變換就是把字典倒著讀——翻譯回家。當你在 s 域做完容易的代數、手上握著一個函數 F(s) 後，反變換就是把那個答案翻回你真正想要的、實際的時間函數 f(t)。

我們寫成 f(t) = L^(-1){F(s)}，定義為撤銷正變換：若 L{f} = F，則 L^(-1){F} = f。有一個形式上的積分定義（複平面上的圍道積分），但你幾乎從不用它。實務上反變換靠辨認來做：你操弄 F(s)——用線性、部分分式、配方、平移定理——直到每一塊都對上變換表的某一列，然後讀出每列對應的時間函數。所以 1/(s - 3) 你認出是 e^(3t)；s/(s^2 + 4) 是 cos(2t)；2/s^3 是 t^2。反變換主要是一項由小表支撐的模式辨認技巧。

一個令人安心的事實使查表法合法：對我們處理的良好函數而言，反變換本質上是唯一的——兩個有相同變換的連續函數就是同一個函數。所以一旦你把 F(s) 揉成可辨認的部件並逐一對上，你就能確信得到的是真正的答案，而非眾多可能之一。這是每個拉普拉斯解的最後一步：變換、求解，然後反變換回到時間的世界。