變換的線性（linearity of the transform）

假設你要把一張購物清單從一種貨幣換成另一種。你可以把每件商品的價格分別換算再加起來，也可以先把價格加總再換算總額——得到的結果一樣。拉普拉斯變換有著正是這種公平性：它尊重加法與縮放。這個性質有個名字——線性（linearity）——也正是它讓變換能用手算。

精確地說，線性同時講兩件事。第一，和的變換等於變換的和：L{f(t) + g(t)} = L{f(t)} + L{g(t)}。第二，常數倍率可以直接穿過：對任意常數 c 有 L{c f(t)} = c L{f(t)}。合起來就是 L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + b G(s)。這直接從定義得出，因為定義用的積分本身就是線性的——和的積分可以拆成積分的和，常數可以提到積分外面。

實務上這表示你絕不會把一個複雜式子當成一整塊來變換。你把它拆成你認得的簡單部件——常數、冪、指數、正弦——逐一從表上查出變換，乘上它的係數，再加起來。同樣的邏輯反過來用於反變換。線性就是那個默默工作的主力，把冗長的式子化成簡短、機械化的查表。