拉普拉斯變換（Laplace transform）
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想像你手上有一段雜亂的錄音，還有一台機器：它不是把錄音重播，而是告訴你裡面藏了多少各種音高。拉普拉斯變換對時間函數做的事很類似。你餵給它一個時間函數 f(t)——比方說隨著秒數變化的電壓——它回傳一個新函數 F(s)，把完全相同的資訊重新打包成一種截然不同、往往方便得多的形式。
具體地說，f(t) 的拉普拉斯變換由積分定義：F(s) = integral from 0 to infinity of e^(-st) f(t) dt。你把函數 f(t) 乘上衰減權重 e^(-st)，再把結果從 0 到無窮對時間積分（加總）起來。答案不再依賴 t——那個變數已經被積掉了——但它依賴新的變數 s。我們寫成 F(s) = L{f(t)}。正是那個 e^(-st) 因子使積分能收斂到一個有限值：當 s 夠大時，它把 f(t) 壓向零的速度夠快，使面積為有限。
為什麼要這麼做？因為在這個變換之下，時間世界裡令人頭痛的運算——微分、積分——在 s 世界裡變成了普通的代數。這正是重點所在：關於 f(t) 的微分方程，變成關於 F(s) 的代數方程，你用中學程度的運算就能解出，再翻譯回去。拉普拉斯變換就是一套乾淨、機械化地求解線性初值問題方法背後的引擎。
對常數函數 f(t) = 1 做變換。計算 integral from 0 to infinity of e^(-st) (1) dt = [ -e^(-st)/s ] from 0 to infinity = 1/s，對 s > 0 有效。所以 L{1} = 1/s：時間域中的常數，在 s 域中變成 1/s。
最簡單的變換：常數 1 變成 1/s。
F(s) 只在 s 夠大時存在——存在一個門檻，s 低於它積分就發散。我們幾乎總是在收斂的範圍內運算，很少糾結確切門檻，但它是真實存在的，而且和 f(t) 增長的快慢有關。