超幾何方程（hypergeometric equation）
/ hy-per-jee-oh-MET-rik /
許多著名的特殊方程（勒讓德、切比雪夫等等）看起來像不同的問題，但它們暗地裡是同一個方程的喬裝。超幾何方程就是那個母方程：一個單一、靈活、帶三個可調參數的二階方程，藉適當的變數變換，把一大片特殊函數作為特例包含其中。它是本主題的大一統者。
它寫作 x(1 - x) y'' + (c - (a + b + 1) x) y' - a b y = 0，帶三個常數參數 a、b、c。它恰有三個正則奇點，在 x = 0、x = 1 與 x = 無窮，而正是這個精確結構使它成為通用模板：任何具三個正則奇點的二階線性方程都能變換成這一個。它在 x = 0 附近的弗羅貝尼烏斯解是超幾何級數 2F1(a, b; c; x) = 從 n=0 起的 ((a)_n (b)_n / (c)_n) x^n / n! 之和，其中 (a)_n = a(a+1)...(a+n-1) 是升階乘。級數係數是依固定規則從一項變到下一項的比值，這正是「超幾何」級數的標誌，也是這名稱的由來。
為何要在意一個抽象模板？因為一旦認出你的方程是喬裝的超幾何方程，便即刻交給你它的解、它的收斂（級數在 |x| < 1 收斂）、它的連接公式，以及一個世紀以來已知的恆等式，無須從頭重做弗羅貝尼烏斯分析。勒讓德的 P_n、切比雪夫的 T_n 及許多其他者，都是特殊參數選擇下的特定超幾何函數，一個理論便這樣把整座特殊函數動物園綁在一起。
切比雪夫的 T_n 是喬裝的超幾何：T_n(x) = 2F1(-n, n; 1/2; (1 - x)/2)。由於第一個參數是負整數 -n，升階乘 (-n)_k 在 k = n 之後變為零，故級數終止成一個 n 次多項式，正是產生特殊多項式的那種終止。
一個負整數參數把超幾何級數截斷成多項式，這正是許多古典正交多項式背後的機制。
超幾何級數一般只在 |x| < 1 收斂；越出單位圓盤就須用解析延拓或連接公式，因為 x = 1 本身就是那三個奇點之一。