埃爾米特、拉蓋爾與切比雪夫多項式（Hermite, Laguerre, Chebyshev）
/ air-MEET, lah-GAIR, CHEB-ih-shev /
勒讓德多項式是一個更大家族的一員：古典正交多項式，各自源於自己的特殊二階方程，各為不同的物理情境與不同的區間量身打造。其中最重要的三個是埃爾米特、拉蓋爾與切比雪夫多項式。它們共享勒讓德的配方，即當某參數為非負整數時、級數解終止成一個多項式，但活在不同的定義域上、帶著不同的權重。
逐一來看。埃爾米特多項式 H_n 來自 y'' - 2x y' + 2n y = 0，活在整條實線上，以高斯權重 e^(-x^2) 正交；它們是量子諧振子能量態的形狀，故每本教科書中振動分子波函數的圖都由它們建成（H_0 = 1、H_1 = 2x、H_2 = 4x^2 - 2）。拉蓋爾多項式 L_n 來自 x y'' + (1 - x) y' + n y = 0，在半線 x >= 0 上，以權重 e^(-x) 正交；它們構成氫原子波函數的徑向部分（L_0 = 1、L_1 = 1 - x）。切比雪夫多項式 T_n 來自 (1 - x^2) y'' - x y' + n^2 y = 0，在 [-1, 1] 上，以權重 1/sqrt(1 - x^2) 正交，並滿足引人注目的恆等式 T_n(cos theta) = cos(n theta)；它們是逼近論與數值分析的主角（T_0 = 1、T_1 = x、T_2 = 2x^2 - 1）。
貫穿的主線是帶權重的正交性：每個族都使 (權重) 乘 P_m 乘 P_n 的積分在 m 不等於 n 時為零，這讓你能在該族中展開函數，正如傅立葉級數以正弦餘弦展開一般。差別（區間與權重）並非任意，每一個都由產生該方程的物理或幾何所決定，這正是為何某問題的正確族，通常就是其自然定義域與問題定義域相符的那一個。
切比雪夫的 T_n(cos theta) = cos(n theta) 使其零點容易求得：T_4 的零點在 cos(4 theta) = 0 處，即 x = cos((2k+1) pi/8)。在這些「切比雪夫節點」上佈置逼近，幾乎消除了困擾等間距多項式插值的劇烈振盪（龍格現象）。
每個族在自己的舞台上發光，埃爾米特在量子諧振子、拉蓋爾在氫原子、切比雪夫在數值逼近。
這些族主要差在區間與權重，而非精神；常見陷阱是在算展開係數時用錯權重，埃爾米特要 e^(-x^2)、拉蓋爾要 e^(-x)、切比雪夫要 1/sqrt(1-x^2)，弄錯就破壞了正交性。