數值初值問題

大多數微分方程都沒有解的公式。你可以寫下規則 y' = f(t, y) 與起點 y(t0) = y0，但也許沒有任何熟悉函數的組合——沒有指數、正弦、對數——能解它。那該怎麼辦？你做的事就像一個帶著羅盤卻沒有地圖的登山者：從你所在之處出發，看看地面往哪個方向傾斜，朝那個方向踏一小步，然後再看一次。數值方法正是把微分方程化成這種一步一步的行走。

精確地說，數值初值問題就是這樣的設定：給定 f(t, y)、起始時刻 t0 與起始值 y0，算出真解在較晚時刻 t1、t2、t3、... 的近似值 y1、y2、y3、...，通常以步長 h 等距分布，使得 t_(n+1) = t_n + h。我們永遠得不到整個函數 y(t)；我們得到的是一張數字表，一步一個，把它勾勒出來。微分方程告訴我們在任何所站之處的斜率 f(t_n, y_n)，而每一種方法都是某種巧妙的規則，用這項斜率資訊從當前值 y_n 猜出下一個值 y_(n+1)。

這幾乎就是所有真實微分方程實際被求解的方式——在天氣模型、太空船軌跡、藥物劑量模擬、電路設計中。本學科其餘部分的解析方法只能精確解出一小串特殊的方程；數值方法則近似但良好地解出其餘的一切。代價是誠實：數值解永遠不精確。有兩種獨立的誤差悄悄潛入——近似步進的誤差（截斷誤差）與有限精度算術的誤差（捨入誤差）——一個好的實踐者總是大致知道它們有多大。