龍格－庫塔法
/ Runge-Kutta (ROONG-uh KOO-tah) /
尤拉法信任一個斜率。改良尤拉法與中點法取樣兩個斜率並把它們組合，回報是二階準確度。自然的下一個念頭是：為什麼要停在兩個？在一步之內於幾個巧選的點取樣斜率，按精心設計的配方加權，把它們混合成一個超準確的有效斜率。這就是整個龍格－庫塔的概念——一族單步方法，靠著在數個內部點取樣右端項並混合結果而建立。
精確地說，一個龍格－庫塔法在一步之內算出數個階段斜率 k1、k2、k3、...。第一個是起點的斜率；之後每一個都是在由前面階段建出的點上算的斜率（在 t 上走分數步，在 y 上相應地組合各個 k）。最終更新是加權平均：y_(n+1) = y_n + h * (b1 k1 + b2 k2 + ...)。這些係數——在哪裡取樣（節點）、如何建出每個階段（內部權重）、最終權重 b_i——並非隨意；它們被選來讓加權平均盡可能高階地重現解的真泰勒展開。吻合更多泰勒項，就得到更高階的方法。
龍格－庫塔法是自啟動的（只需當前點，不需歷史），它們讓你自由改變步長，並以每步少數幾次斜率計算達到高準確度。這種穩健與準確的結合，正是它們——尤其是經典的四階 RK4——成為非剛性問題預設主力的原因。改良尤拉法與中點法不過是這個家族的二階成員；RK4 是恰好命中準確度對比成本最佳點的四階成員。
改良尤拉法是最簡單的龍格－庫塔法（2 階段、2 階）：k1 = f(t_n, y_n)，k2 = f(t_n + h, y_n + h k1)，然後 y_(n+1) = y_n + (h/2)(k1 + k2)。選用更多階段與不同權重，便能爬升到 3、4、5 階乃至更高。
取樣數個內部斜率、按設計配方混合——一整族不同階的方法。
更多階段不會自動意味著更高階——超過四階後，一個顯式龍格－庫塔法所需的階段數會「多於」它的階，這正是 RK4（4 階段、4 階）位於如此甜美效率點的原因之一。