中點法

這裡有另一種治療尤拉法「步首近視」的辦法。中點法不像改良尤拉法那樣對起點與終點斜率取平均，而是這樣推理：最能代表整步的斜率，很可能是它「中央」的斜率。於是它先向前走半步去窺看中點處的斜率，再回頭用這個單一的中點斜率走完整步。一個選得好的取樣，勝過一個放錯位置的取樣。

精確地說，分兩階段：先走半步尤拉到中點，y_mid = y_n + (h/2) * f(t_n, y_n)，得到 y 在時刻 t_n + h/2 的估計。然後在那裡算斜率 k = f(t_n + h/2, y_mid)，用這個中點斜率走完整步：y_(n+1) = y_n + h * k。半步是用完即丟的鷹架；中點斜率才是真正的成分。從幾何上看，你沿著一條斜率取自區間中央的直線走，在平滑彎曲的解上，這比取自左端的斜率是個好得多的代表斜率。

和改良尤拉法一樣，中點法是二階——全域誤差為 h^2 量級——每步同樣要算兩次斜率。兩者是表親：都是兩階段、二階的龍格－庫塔法，只是建立在不同的幾何概念上（中點斜率對比端點平均斜率）。一般而言誰也沒比誰好得多；它們是用來說明「存在一整族二階方法」的標準範例，而這兩個是其中兩位自然的成員。