數值通量（numerical flux）

在有限體積法中，兩個相鄰的格各自儲存一個平均值，而它們對兩格之間那個面上的值通常「各執一詞」——界面上有一個跳變。但要更新兩個格，你需要一個單一、雙方同意的「穿過該面的流」。數值通量就是把兩個衝突的格值拿來、產生一個一致通量供兩側共用的配方。它是整個方法中最關鍵的單一選擇。

形式上，格 i 與 i+1 之間面上的數值通量是左態 u_L = u_i 與右態 u_R = u_{i+1} 的一個函數 F_hat(u_L, u_R)。兩個要求讓它合理。「相容性」：當兩個態一致時，F_hat(u, u) 必須等於真實的物理通量 f(u)。「守恆性」：兩個相鄰格使用「同一個」F_hat（以相反正負號），所以界面上不會憑空生出東西。在這些規則內有極大的自由。「中心式」通量平均兩側，F_hat = (f(u_L) + f(u_R))/2——對光滑解精確，但對對流不穩定，會產生振盪。「迎風式」通量則取流「來」的那一側的值（若風從左吹向右，用 u_L），尊重資訊傳播的方向，穩定但添加數值擴散。對非線性守恆律（氣體動力學），正確的選擇是黎曼求解器——精確或近似（Roe、HLL、Lax-Friedrichs）——它在界面上解出波的結構。

數值通量正是物理、精度與穩定性一次全被決定之處，而其誠實是一個真實的取捨，沒有免費的午餐。中心式通量二階精確卻在激波附近振盪（對對流還可能爆掉）；一階迎風通量極為穩定且能捕捉激波，卻以過度的數值擴散把尖銳鋒面抹糊。你無法用一個固定的線性格式在不連續處附近「同時」擁有無限精度「和」保證不振盪——Godunov 定理如是說。現代的解法是高解析度格式，它在光滑區域結合高階通量、在激波附近結合低階迎風通量，由斜率限制器切換。