數值依賴域(numerical domain of dependence)
問某個答案倚賴哪些更早的資訊。對波動方程,點 (x, t) 的真值只依賴某個物理區域內的初始資料——對速度 c 的波,是區間 [x - c*t, x + c*t],因為沒有影響跑得比 c 快。這個回溯到過去的三角形範圍就是(真實)依賴域。數值版本對「格式」問同樣的問題:哪些初始格值可能影響某個算出的值?
順著模板回溯。若你的顯式格式從 u_{j-1}^n、u_j^n、u_{j+1}^n 更新 u_j^{n+1},則新值依賴一步前的三點,那三點又依賴兩步前的五點,依此類推——n 步後,節點 j 的算出值取自一把扇形的初始格,大約橫跨 j - n 到 j + n,即每側空間寬約 n*h,歷時 n*k。這離散三角形的斜率為 h/k:資訊穿過網格傳播的最快速度恰為每單位時間 h/k 格。此網格三角形就是數值依賴域。
兩個三角形必須正確地嵌合,這正是 CFL 條件的內容。若數值依賴域「不」包含真實依賴域——即物理波從格式從未看過的資料抵達該點(c > h/k,即庫朗數 c*k/h > 1)——則細化網格也無濟於事;格式缺少必要資訊,必定不穩定或錯誤。故「數值依賴域包含解析依賴域」這個要求是 CFL 的幾何核心,也是看清「為何」顯式格式有時間步限制的乾淨方式。同一圖像解釋了隱式格式為何擺脫它:在那裡,每個點一步內耦合整個網格,故數值依賴域是整個區域,永遠包含真實的。
蛙跳取 h = 0.1,讓資訊每步至多越過一格,網格速度 h/k。若真實波速 c = 1、k = 0.05,則 h/k = 2 > c——數值三角形比物理的寬,故包含它:穩定。把網格速度降到 c 以下(取 k = 0.2,h/k = 0.5 < 1),物理波就跑贏網格:違反 CFL,格式不穩定。
唯有網格的影響三角形涵蓋物理的,才穩定。
包含真實依賴域對顯式格式「必要」但不充分:一個格式可有夠寬的數值依賴域卻仍不穩定(對流的 FTCS 涵蓋物理依賴域卻爆炸)。隱式格式總是平凡地滿足包含,因其數值依賴域是整個網格——這正是它們無 CFL 限制的原因。