非線性鐘擺（nonlinear pendulum）

每個人初次認識鐘擺，都是透過「它以完美正弦波擺動」這個方便的謊言。那只在極小幅擺動時才成立。誠實的鐘擺——從大角度釋放、或一路甩過最高點——會做出更豐富的事，而要捕捉那份豐富，就必須保留完整的非線性方程，而非它的小角度簡化。非線性鐘擺是非線性動力學的典範首例。

牛頓定律給出剛桿上擺錘的方程 theta'' + (g/L) sin(theta) = 0，其中 theta 是相對於正下方的角度。非線性來自 sin(theta)：對小角度 sin(theta) 約等於 theta，這就是週期固定的線性簡諧模型，但對大角度，恢復力增長得比角度慢，所以擺動費時更久。以 omega = theta' 寫成平面系統，它變成 theta' = omega、omega' = -(g/L) sin(theta)。無摩擦時它是哈密頓系統——總能量守恆——所以相圖就是能量的等高線圖：繞下垂平衡點的閉迴圈（來回擺動），以及超過某閾值後的波浪開曲線（擺錘越過頂端、一圈又一圈）。

透過本領域的視角，鐘擺是核心概念的一座陳列館。下垂靜止（theta = 0）是保守系統的中心——李雅普諾夫穩定但非漸近穩定，因為能量從不流失。倒立平衡點（theta = pi）是鞍點——不穩定，正是那支立在筆尖上的鉛筆。擺動與旋轉之間的分界軌跡，是穿過鞍點的分界線。加上阻尼（一個 -b omega 項）後能量開始衰減：中心變成漸近穩定的螺旋，而拉薩爾原理證明擺錘最終必定停在正下方靜止。誠實的提醒：小角度的「固定週期」只是近似；真實的大振幅擺動週期更長、且與振幅有關。