非線性系統、穩定性與李雅普諾夫理論
李雅普諾夫直接法（Lyapunov's direct method）
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判斷穩定性的多數方法都從解方程開始，再觀察解的行為。李雅普諾夫直接法完全跳過這一步。它直接從方程本身判斷穩定性，做法是找出一個類能量的單一量、檢查它往哪個方向移動——所以叫「直接」。它正因為非線性系統通常解不出來，而成為非線性系統的核心工具。
此法走三個步驟。第一，提出一個在平衡點附近正定的候選函數 V(x)——一個最低點在 x* 的碗。第二，計算它沿著流的變化率 V' =（V 的梯度）· f(x)，只用到 x' = f(x) 的右端，不必求解。第三，讀出判決：若 V' 在整個鄰域內小於等於零，平衡點是李雅普諾夫穩定的（軌跡爬不出碗）；若 V' 在 x* 之外嚴格為負，則為漸近穩定（它們必定滑到碗底）。另有一個版本，V 在某處為正且該處 V' 為正，反過來認證不穩定。
它的觸及面很廣：能處理線性化無言以對的平衡點（非雙曲情形），能證明整個區域上的全域穩定而非僅僅鄰近，並且是控制工程的基礎——人們設計控制器使選定的 V 遞減。代價是沒有產生 V 的演算法——你得猜，常從物理能量入手，有時需要巧妙的猜測。當嚴格遞減難以達成時，拉薩爾不變原理把此法延伸到 V' = 0 的邊界。
對無阻尼非線性鐘擺 x' = y、y' = -sin(x)，取總能量 V = (1/2)y^2 + (1 - cos x)；則 V' = y(-sin x) + sin(x)·y = 0，故 V 守恆，向下的靜止位置是李雅普諾夫穩定的（但非漸近穩定）。
能量恰好保持不變（V' = 0），故軌跡永遠繞圈——穩定但非漸近穩定。
此法只給出充分條件：若你的候選 V 失敗，平衡點在另一個 V 下仍可能穩定。它也叫李雅普諾夫「第二」法，以與他較早經由實際解的途徑區別。
又稱
另見