李雅普諾夫函數（Lyapunov function）

想像一顆球在碗裡滾動。你不必解它的運動方程就知道它最終會停在碗底——你只要注意到它的高度（它的能量）在滾動中從不增加，所以它必定持續往最低點下沉。李雅普諾夫函數正是把這個想法做成的工具：一個圍繞平衡點、形狀像碗的單一量，系統只能讓它保持平坦或往下推，從而迫使軌跡停留在底部附近、或落入底部。

形式上，在平衡點 x*（為方便置於原點）附近，李雅普諾夫函數 V(x) 是一個純量函數，在附近處處為正、只在 x* 本身為零——這正是「碗形」的意思（正定）。關鍵測試在於它沿軌跡的變化率：V' =（V 的梯度）點乘 f(x)，即你沿著一個解前進時 V 的導數。若 V' 小於等於零（V 從不增加），平衡點是李雅普諾夫穩定的；若 V' 在 x* 之外嚴格為負（V 總是嚴格遞減），平衡點是漸近穩定的。你直接從方程算出 V'，完全不必解方程。

其威力在於：你無須解的公式就能認證穩定性——這對解不出來的非線性系統無價。誠實的困難有二。第一，找到一個有效的 V 是門藝術：沒有萬用配方，不過物理能量常是極佳的第一猜測。第二，找不到並不能證明任何事——一個有效的李雅普諾夫函數能確認穩定，但你恰好試過卻找不到，並不能說明不穩定。