守恆量（conserved quantity）
守恆量是一個你能從狀態算出、卻在系統演化中永不改變的數——一個無論變數本身如何移動都保持固定的記帳總額。最熟悉的例子是無摩擦系統中的能量：擺擺動時，它的動能與位能來回交換，但兩者之和保持不變。任何具此性質的東西，都在不解任何方程的情況下，免費給你一個強而有力的運動約束。
形式上，守恆量是一個函數 E(x, y)，其值沿系統每條軌跡保持不變——也就是對所有解都有 dE/dt = 0。由連鎖律，dE/dt = (dE/dx) x' + (dE/dy) y' = (dE/dx) f + (dE/dy) g，所以 E 守恆，恰當這個組合處處為零時成立。幾何上的回報立即而優美：因為 E 永不改變，每條軌跡都被鎖在單一等位線 E(x, y) = 常數上。你不必解系統就能畫出它的軌跡——只要畫出 E 的等位線，軌跡就是那些曲線。等位線在何處閉合成圈，那裡就有環繞中心的閉合軌道。
守恆量是通往中心與閉合軌道的日常途徑，也是守恆（能量保持）系統永遠振盪的原因。誠實的告誡：大多數系統「沒有」守恆量——摩擦、電阻與任何損耗機制都破壞守恆，把本應閉合的軌道變成向內的螺旋。找到一個守恆量是運氣（或特殊結構，如哈密頓系統或梯度系統）；一旦有了它，定性分析便塌縮為畫等位線，但你絕不該假設它必然存在。
對於無阻尼擺 x' = y、y' = -sin(x)，能量 E = 0.5 y^2 - cos(x) 守恆：沿任一解 dE/dt = y y' + sin(x) x' = y(-sin x) + sin(x) y = 0。每條軌跡都是一條等位線 E = 常數。
沿解 dE/dt = 0，所以每條軌跡都被困在 E 的一條等位線上。
守恆是例外，不是常規。加上任何阻尼或摩擦，dE/dt 就由零變為負，於是 E 沿軌跡遞減，本應閉合的軌道塌縮成向內的螺旋。絕不要假設守恆量存在——它存在時是個禮物，且通常標誌著特殊的（守恆、哈密頓或梯度）結構。