一階建模與定性分析
牛頓冷卻定律
/ NOO-tunz /
把一杯熱咖啡留在桌上，它起初冷得快，而後愈來愈慢，逼近室溫，悄悄貼近房間的溫暖卻絕不越過。牛頓注意到，冷卻的速度由一件事決定：物體與周遭之間的溫差有多大。滾燙的杯子散熱迅速；溫吞的杯子幾乎不變。
寫成微分方程為 dT/dt = -k(T - T_s)，其中 T(t) 是物體溫度，T_s 是周遭（環境）溫度，k > 0 是由物體本身及它與周遭交換熱量的能力所決定的常數。負號與溫差 (T - T_s) 合在一起說明：物體比周遭熱則溫度下降，比周遭冷則上升，無論哪種情形都朝 T_s 前進。其解為 T(t) = T_s + (T0 - T_s)e^(-kt)——溫差按指數衰減，故溫度平滑地滑向環境溫度。（加熱也是同樣道理；此定律是對稱的。）
這其實是喬裝過的指數衰減，作用對象不是溫度本身，而是溫差 T - T_s。它被用於法醫推估死亡時間、烹飪，以及任何熱交換的估算。它假設周遭維持固定溫度、且物體內外溫度均勻一致——這兩個近似，對於體積大、導熱慢、內部落後於表面的物體都會失效。
90°C 的咖啡在 20°C 的房間裡，10 分鐘後冷到 60°C。由 T(t) = 20 + 70 e^(-kt)，在 t = 10 得 40 = 70 e^(-10k)，故 k = (ln(70/40))/10 ≈ 0.056/分鐘，從此可預測任何之後的溫度。
溫差 T - T_s 的指數衰減，滑向環境溫度。
此定律假設物體只有單一、均勻的溫度；厚實的烤肉或大湖內部存在溫度梯度，其核心冷卻的方式與這條簡單公式大相逕庭。
又稱
另見