內凡林納值分布理論（Nevanlinna value-distribution theory）
/ Nevanlinna -> NEH-vahn-lin-nah /
皮卡與波萊爾給出定性的裁決——至多漏掉一個值、至多一個稀疏值。內凡林納理論是從它們生長出來的完整定量清算，一種記帳法，同時追蹤對每個目標值 w，一個亞純函數有多傾向或多迴避取那個值。它是成熟的理論，把「至多漏掉一個」化為精確的預算，在函數變得多大與它取每個值多頻繁之間取得平衡，並把整個學科從整函數推廣到亞純函數——在那裡極點不過是 w = 無窮的 w 點。
其機制建立在三塊上，組裝成特徵函數 T(r)。對亞純函數 f，定義鄰近函數 m(r, w)（f 在半徑 r 的圓上平均有多接近值 w）與計數函數 N(r, w)（半徑 r 內 w 點的積分計數）。內凡林納第一基本定理說它們的和 m(r, w) + N(r, w) 本質上與 w 無關：它等於 T(r) 加上一個有界誤差。所以 T(r) 是單一的增長量規——對整函數它像 log M(r) 那樣增長——而每個值都得到相同的總預算 T(r)，分配在「停留在 w 附近」與「實際擊中 w」之間。第二基本定理是深刻的那一個：對若干值求和，鄰近項不可能全都很大，這迫使虧量關係——虧量 delta(w)（預算花在鄰近而非擊中上的份額）對所有 w 求和至多為 2。皮卡定理立刻得出：被漏掉的值虧量為 1，兩個被漏掉的值給出總和 2 而給一般值留不下空間，三個則不可能。
內凡林納理論是二十世紀分析的偉大成就之一：它給階、零點、極點、與值分布一套統一的語言，並推廣了整個皮卡-波萊爾圈。它孕育出整個研究領域——亞純函數的值分布、複動力系統、甚至與數論中丟番圖逼近的著名類比（沃伊塔字典）。誠實的範圍：它是測度論與積分幾何的理論，比初等留數計算重得多的機制，其精確結果（如虧量關係之和為 2）很深；常數 2 並非任意，而反映球面的歐拉示性數，暗示其底下的幾何。
對整函數，特徵函數簡化：T(r) 與 log M(r) 相當，所以階同樣可定義為 rho = log T(r) / log r 的上極限。對 e^z，T(r) 像 r 那樣增長（與階 1 相符），值無窮（「極點側」）的虧量為 1，因為整函數沒有極點，值 0 的虧量也為 1，而這兩個虧量已經和為 2——第二基本定理所允許的最大值，所以沒有其他值能是虧值。
對 e^z，在 0 與在無窮處的虧量已合計為 2，使虧量關係飽和——這是皮卡定理的生動讀法。
虧量關係的界 2 是精確的、非任意的——它反映黎曼球面的拓撲——但要達到它需要虧值，而大多數函數並沒有。而 w = 無窮時 N(r, w) 計算極點，這正是為何此理論自然地生活在亞純函數之中，而不僅是整函數。