n 步轉移矩陣（n-step transition matrix）

一步矩陣回答「明天我可能在哪裡？」。但你通常在意更遠的視野：十步後我可能在哪裡，或一千步後？n 步轉移矩陣把那些答案全部收集起來。它的元素 P^(n)(i, j) 是從狀態 i 出發、恰好 n 步後身處狀態 j 的機率，無論中間走的是哪條路。

由查普曼–柯爾莫哥洛夫方程所給出的驚人事實是：你不需要任何新理論來計算它 —— n 步矩陣就只是普通的矩陣冪，P^(n) = P^n。要算十步機率，就把 P 取十次方。每一次矩陣乘法都自動替你對所有中間狀態加總。於是一個聽來像組合問題的提問 —— 數出每一條 n 步路徑並按其機率加權 —— 就塌縮為反覆的矩陣乘法，這是電腦瞬間就能做的事。

這是本主題實務上的引擎。想要從已知起點走 n 步後的分布？讀 P^n 的一列。想要從不確定的起點、以初始分布 pi_0 出發？計算列向量 pi_0 乘 P^n。而觀察當 n 變大時 P^n 會如何變化，正是你發現鏈長期平衡的方法：對性質良好的鏈，P^n 的各列都收斂到同一個平穩分布，意味著起點終究會被遺忘。