極限分布與收斂至平衡（limiting distribution and convergence to equilibrium）

讓一條性質良好的鏈跑很久，一件美麗的事就會發生：它忘記了自己從哪裡出發。處於各狀態的機率安頓到一組固定的數，不再依賴起始狀態。這個安頓下來的長期分布就是極限分布 —— 它回答的是「不論今天如何，遙遠的未來鏈大概會在哪裡？」。

精確地說，極限分布是 P^(n)(i, j) 當 n 趨於無窮時的極限，前提是該極限存在且不依賴起點 i。等價地，P^n 的各列都收斂到同一列，而 pi_n = pi_0 乘 P^n 會從任何 pi_0 收斂到它。基本極限定理說：對一條不可約、非週期且正常返的鏈，此極限存在、從每個起始狀態都相同、且等於唯一的平穩分布 pi。三個條件都各司其職 —— 不可約把狀態綁成一個系統，正常返保證平衡存在，非週期阻止鏈永遠振盪。

收斂通常是幾何式的：與平衡的距離大致以第二大特徵值的絕對值的 n 次方縮小。「混合時間」 —— 鏈要多久才夠接近平衡 —— 由那個特徵值間隙決定，這也是你做模擬時最核心的實務關切。極限分布正是 PageRank 會收斂、洗過的牌會變均勻、以及 MCMC 終究會從目標分布抽樣的原因。